Una breve introducción a la teoría del caos…

Quiero dedicar un pequeño apartado (que quizás tenga continuación) a la dinámica no lineal de sistemas o teoría del caos. Es un tema que resulta de interés para mucha gente aunque en realidad se desconoce bastante acerca del mismo. 

En general, cuando las variables de una ecuación tienen exponente 1, se dice que son lineales. Si por el contrario, el exponente es mayor que 1, se les llama no lineales. En realidad, la naturaleza  no es lineal en su mayoría, pero realizar modelos con formas no lineales resulta bastante complejo. La complejidad implica la participación o influencia de muchos factores en la descripción del fenómeno.

El caos no implica un desorden absoluto y parece posible encontrar algún tipo de pauta o de comportamiento, al menos en algunos casos. Vamos a ver uno de los casos concretos más famosos estudiando una ecuación propuesta en el siglo XX por Mitchell Feigenbaum. Se trata de la ecuación:

Y=K(x-x2)

K es una constante cualquiera, se le llama parámetro. Para comprender la ecuación, deberíamos dar todos los infinitos valores que podamos, peor con unos pocos bastará para ilustrar el comportamiento  caótico.

Supongamos que dicha ecuación representa la evolución de una determinada población de seres vivos, donde x puede ser la población para un año dado e y para el año siguiente. Supongamos K=1, con esto la ecuación se reduce a Y=(x-x2). Para x=1, se tiene y=0.24. El siguiente valor será 0,1824, 0,1491, 0,1269…

Observando la evolución 0,4, 0,24, 0,1824, 0,1491, 0,1269… se observa que tiende a un valor límite que en este caso es cero, es decir, la extinción. Lo más increíble es que eso sucede sea cual sea el valor inicial de x. Si repetimos los cálculos para K=2, las cosas cambian. Ahora la evolución es 0,4, 0,48, 0,4992, 0,4999… el valor límite es 0.5. Aumentando el valor de k hasta K=3.2 el valor límite es oscilante. No existe caso estacionario, los valores no se estabilizan sino que varían entre 0.5 y 0.8. Para K=3,5 la alternancia se da entre 4 valores: 0,3, 0,83, 0,5 y 0,88. Para K=3.57 la cuestión se complica puesto que el número de valores alternantes es casi infinito y el fenòmeno se hace impredecible.

En la figura  adjunta se observa que en función de K las situaciones posibles son distintas; para unos valores la evolución está bien determinada, para otros no, tal y como se observa para una cierta banda en la que se produce un conjunto límite aleatorio  de puntos sin una aparente pauta. Este ejemplo es un caso claro de caos determinista aunque suene contradictorio. Es un caso que muestra claramente la sensibilidad a las condiciones iniciales.

 

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