El teorema de Gödel, sobre la verdad y la demostrabilidad

Este es un post sacado de un blog muy bueno de ciencia, en particular de fisica, visitadlo los que estéis interesados en estos temas: http://labellateoria.blogspot.com

El teorema de Gödel es equiparable por su importancia a la teoría de la relatividad de Albert Einstein, y es una de las construcciones fundamentales de las matemáticas de todos los tiempos. Gödel utilizó el rigor de las matemáticas para demostrar, sin lugar a dudas, que las matemáticas mismas son incompletas. En su artículo de 1931, Gödel demuestra que en cualquier sistema lógico basado en axiomas y reglas de inferencia, existen enunciados cuya verdad o falsedad no vamos a poder decidir, basándonos en la propia lógica matemática del sistema. Antes de Gödel esto ni siquiera se consideraba, pues lo interesante de un enunciado era poder demostrar que era verdadero o bien era falso. A partir de Gödel aparece una diferencia muy sutil entre verdad/falsedad y demostrabilidad.



El teorema de Gödel tiene que ver con enunciados que hacen referencia a sí mismos. Sócrates afirmaba, en su famosa frase:” Yo sólo sé que no sé nada”. Se contradecía, al afirmar que sólo sabía una cosa y, al mismo tiempo, no sabía nada:hacía referencia a si mismo y ahí es donde residía su contradicción. A principios del siglo XX (1902) el gran matemático y filósofo Bertran Russell, que entonces era un joven de 30 años, le envió una carta al gran matemático Gottlog Frege, uno de los creadores de la lógica simbólica, en la que le planteaba una paradoja que generaba una contradicción en su sistema de axiomas . Frege había publicado ya un primer tomo tratando de sistematizar toda la matemática en base a la pura lógica, pero al recibir la carta de Russell se dio cuenta que la obra de sistematización, que le había empleado toda su vida, quedaba en entredicho. Así lo reflejó, con tristeza, al publicar su segundo tomo en el que debía concluir su labor sistematizadora.Al cabo de unos años (1913), el propio Rusell y otro gran matematico, Alfred North Whitehead, trataron de reparar el daño hecho por su paradoja, al formidable edificio de la lógica matemática, escribiendo una obra monumental que titularon Principia Mathematica. Llegaron a desarrollar un sistema matemático de axiomas y reglas de inferencia, cuyo propósito era el que fuera posible traducir en su esquema todos los tipos de razonamientos matemáticos correctos. Todo estaba especialmente cuidado para impedir los tipos de razonamiento paradójico que conducían a la propia paradoja de Russell. Posteriormente, el matemático David Hilbert se embarcó en la tarea de establecer un esquema mucho más manejable y comprensible. Se incluirían todos los tipos de razonamientos matemáticamente correctos para cualquier área matemática particular. Además, pretendía que fuera posible demostrar que el esquema estaba libre de contradicciones. Entonces, las matemáticas estarían situadas, para siempre, sobre unos fundamentos inatacables.

Pero en 1931 Kurt Gödel, un joven matemático austríaco de 25 años, publicó su famoso artículo” Sobre proposiciones formalmente no decidibles en Principia Mathematica y sistemas relacionados” y desmontó, definitivamente, la soberbia estructura montada sobre la lógica matemática, que se suponía completa. Destrozó el programa planeado por Hilbert, porque demostró que cualquiera de estos sistemas matemáticos precisos (formales) de axiomas y reglas de inferencia (finitos), siempre que sea lo bastante amplio para contener descripciones de proposiciones aritméticas simples y siempre que esté libre de contradicción, debe contener algunos enunciados que no son demostrables ni indemostrables con los medios permitidos dentro del sistema. De hecho, por sorprendente que parezca, Gödel demostró que el mismo enunciado de la consistencia del propio sistema axiomático debe ser una de esas proposiciones indecidibles.Gödel nos descubrió que la verdad es una categoría superior a la demostrabilidad, y que su argumento nos da la posibilidad, mediante intuición directa, de ir más allá de las limitaciones de cualquier sistema matemático formalizado. Penrose utiliza el argumento de Gödel para demostrar el funcionamiento no algorítmico de la mente. El sistema matemático más perfecto que podamos conseguir, con un número finito de axiomas y reglas de inferencia, es incapaz por principio de probar la verdad/falsedad de enunciados que nosotros, desde fuera del sistema, advertimos sin demasiada dificultad. Un ordenador basado en la programación automática que conocemos, a base de algoritmos matemáticos, tiene una limitación fundamental independiente de que el programa sea mejor o peor o que su memoria y capacidad de cálculo sean de mayor o menor potencia.

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4 respuestas a El teorema de Gödel, sobre la verdad y la demostrabilidad

  1. Jorge Romero dijo:

    Muy interesante.

  2. Que punto de vista tan superficial, los teoremas de Kurd Goedel KG1931 no son equiparables en trascendencia a la teoria de la relatividad,
    se debe tener en cuenta la diferenciacion, en su caso ignorada, de conceptos, una cosa es un teorema y otra cosa es una teoria (mas compleja).
    Por otro lado, lo unico que hacen los teoremas KG1931 es solo demostrar que la mal llamada “logica matematica” es un sistema de logica imcompleto,
    no es el sistema de logica mas general que pueda incluir a otro sistema de logica. No es necesario ir muy lejos para entender esto, la logica
    esta relacionada estrechamente con el pensamiento, y los ladrillos que componen el pensamiento no son las propociones, son los conceptos.
    sistemas de logica mas prometedores (dentro del los cuales quedaria incluida la “logica matematica” solo como un aspecto particular e incompleto)
    no limitados por un principio de un tercero excluido y con una verdadera semantica podran decir la ultima palabra sobre la calidad y
    direccion (sentido) de estos teoremas observados por algunos con mas pasion que con razon.

    Estoy empezando a construir un sitio web http://www.ideasavanzadas.ucoz.com que ayudara a entender el porque los seres humanos llegamos a concluciones herradas
    y como salir de ellas con la ayuda de nuevas herramientas y conceptos como el pensamiento lateral y la “logica vectorial”. A demas este sitio Web, y
    otros, seran el preambulo para la presentacion de un trascendental descubrimiento relacionado con la fundamentacion del conocimiento y las matematicas.
    te invito a visitar este sitio que terminare de construir antes de dos meses.

    Marco Antonio Arana (MarcoBrain)

    • Javier dijo:

      Marco,
      No estoy de acuerdo contigo. La contundencia de los teoremas de Gódel es tremenda. En un momento dado afirmas que
      “la mal llamada lógica matemática es un sistema de logica imcompleto, no es el sistema de logica más general que pueda incluir a otro sistema de lógica”.
      Pues bien, Gödel afirmó que que en cualquier sistema de lógica más general que incluyese los axiomas de Peano (en la que se basa la aritmética) es inconsistente. Yo no se si en tú lógica vectorial etc excluyes a la arimética… cosa que no creo… y vuelves a caer en la indecidibilidad.

      • neometalero dijo:

        Me alegra que se genere debate, una pena que éste no sea un tema que controlo para poder participar…

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