Peligrosa intuición…

Los libros de problemas de Mensa abundan en cuestiones como la siguiente: “Dada la sucesión 1,2,4,8,16…, averiguar el término siguiente”. Antes de contestar de forma precipitada, obsérvese el gráfico adjunto. En él se dibujan las regiones en que queda dividido un círculo tras trazar todas las rectas posibles que conectan dos, tres, cuatro, cinco puntos, y responden a los valores anteriores. ¿Cuántas regiones aparecerán al elegir un sexto punto? ¿Y un séptimo?




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3 respuestas a Peligrosa intuición…

  1. leonsotelo dijo:

    Supongamos un polígono de n lados con sus correspondientes diagonales inscrito en un círculo.Si ahora añadimos un nuevo vértice al polígono desde él podemos trazar una recta(estariamos trazando un nuevo lado) que no corta a ninguna de las que ya están trazadas y en cuyo caso aumenta en 1 el número de regiones o bien que las corte(estariamos trazando una nueva diagonal) y entonces aumentara en 1 el número de regiones cada vez que corte a alguna recta de las ya trazadas.Así que el número de regiones esta en intima relación con el total del número de líneas y el número de puntos de intersección interiores.
    El numero de líneas resulta de las posibles formas de escoger 2 puntos entre n de ellos y el numero de puntos interiores es el numero de cuadrilateros que se pueden formar con n puntos(cada dos diagonales dan un punto de interseccion)
    f(n) = C(n,2) + C(n,4) + constante
    La constante es facilmente calculable pues por ejemplo para n=4 f(n) vale 8
    8=C(4,2)+C(4,4)+k =6+1+k de donde k=1.
    Así la fórmula que buscamos seria:
    f(n)=1+C(n,2)+C(n,4) que para n=1,2,..
    da 1,2,4,8,16,31,57…

    León-Sotelo

  2. neometalero dijo:

    Esperaba el término general de la serie peor la respuesta es correcta. Desde luego la tuya es una mente entrenada,jeje.

  3. leonsotelo dijo:

    El término general es f(n)=1+C(n,2)+C(n,4)=1+n(n-1)/2!+
    n(n-1)(n-2)(n-3)/4! quedando por tanto
    f(n)=(n^4-6n^3+23n^2-18n+24)/24
    C(n,2) y C(n,4) eran simplemente coeficientes binomiales.

    León-Sotelo

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