Demasiadas dimensiones

Desde que en 1887, el matemático noruego Sophus Lie descubrió el grupo matemático llamado E8, los investigadores han estado intentando entender el objeto extremadamente complejo descrito por una matriz numérica de más de 400.000 filas y columnas. Ahora, un equipo internacional de expertos, empleando potentes computadoras y técnicas de programación, ha mapeado el E8, una proeza comparable numéricamente al trazado del mapa del genoma humano. Este logro permitirá avances en una gama amplia de problemas en la geometría, la teoría de los números y la teoría física de las cuerdas.

“Aunque el mapa del genoma humano es de importancia fundamental para la biología, obtenerlo no produjo al instante una cura para el cáncer o algún medicamento igualmente milagroso. Nuestra investigación es similar en ese sentido; se trata de una investigación básica crítica, pero sus implicaciones pueden no conocerse hasta dentro de muchos años”, explica el matemático Jeffrey Adams, jefe del proyecto y profesor de matemáticas en la Universidad de Maryland.

El esfuerzo para “cartografiar” el E8 forma parte de un proyecto más grande para mapear todos los grupos de Lie, descripciones matemáticas de simetría para objetos continuos como conos, esferas y sus homólogos con dimensiones espaciales adicionales. Muchos de los grupos se comprenden bien; el E8 es el más complejo.

Es bastante fácil entender la simetría de un cuadrado, por ejemplo. El grupo sólo tiene dos componentes: las imágenes espejo a través de las diagonales y las resultantes cuando el cuadrado se corta por la mitad a través de cualquiera de sus lados. Las simetrías forman un grupo con sólo esos 2 grados de libertad, o dimensiones, como miembros.

Un objeto simétrico continuo como una esfera es bidimensional en su superficie, por lo que basta tomar sólo dos coordenadas (la latitud y longitud en la Tierra) para definir una situación. Pero en el espacio tridimensional, puede girarse alrededor de tres ejes (eje-x, eje-y y eje-z), por lo que el grupo de simetría tiene tres dimensiones.

En ese contexto, el E8 fatiga la imaginación. Las simetrías representan un sólido de 57 dimensiones (se necesitarían 57 coordenadas para definir una ubicación) y el grupo de simetrías tiene nada menos que 248 dimensiones.

Debido a su tamaño y complejidad, el cálculo del E8 tomó aproximadamente 77 horas en la supercomputadora Sage, y creó un archivo con un tamaño de 60 gigabytes. Por comparación, el archivo del genoma humano tiene menos de un gigabyte de tamaño. De hecho, si fuera escrito en papel utilizando letras pequeñas, la respuesta del E8 cubriría un área del tamaño de Manhattan.

Si bien las unidades de disco duro de los ordenadores personales pueden almacenar esta cantidad de datos, la máquina debe tener acceso continuo a decenas de gigabytes de datos en su memoria de acceso aleatorio (la típica RAM en un ordenador personal), algo muy lejano para las máquinas convencionales y no disponible ni siquiera en grandes computadoras hasta hace poco.

La labor de cálculo era sofisticada y exigió el trabajo de expertos versátiles y experimentados, capaces de desarrollar nuevas técnicas matemáticas y nuevos métodos de programación.

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